Nash-Gleichgewicht. Spieltheorie für Ökonomen (John Nash)

2024 Autor: Henry Conors | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-02-12 05:40

In den 1930er Jahren wurden John von Neumann und Oscar Morgenstern die Begründer eines neuen und interessanten Zweigs der Mathematik namens "Spieltheorie". In den 1950er Jahren interessierte sich der junge Mathematiker John Nash für diese Richtung. Die Gleichgewichtstheorie wurde zum Thema seiner Dissertation, die er im Alter von 21 Jahren schrieb. So wurde eine neue Spielstrategie namens "Nash Equilibrium" geboren, die viele Jahre später - 1994 - den Nobelpreis gewann.

Die lange Zeitspanne zwischen dem Schreiben einer Dissertation und der allgemeinen Anerkennung ist für einen Mathematiker zu einer Prüfung geworden. Genie ohne Anerkennung führte zu schweren psychischen Störungen, aber John Nash konnte dieses Problem dank seines hervorragenden logischen Verstandes lösen. Seine Theorie des Nash-Gleichgewichts gewann einen Nobelpreis und sein Leben wurde in Beautiful mind gefilmt.

Kurz zur Spieltheorie

Da die Nash-Gleichgewichtstheorie das Verh alten von Menschen unter Interaktionsbedingungen erklärt, lohnt es sich, die Grundkonzepte der Spieltheorie zu betrachten.

Die Spieltheorie untersucht das Verh alten der Teilnehmer (Agenten) in Bezug auf die Interaktion miteinander wie ein Spiel, bei dem das Ergebnis von der Entscheidung und dem Verh alten mehrerer Personen abhängt. Der Teilnehmer trifft Entscheidungen auf der Grundlage seiner Vorhersagen über das Verh alten anderer, was als Spielstrategie bezeichnet wird.

Es gibt auch eine dominante Strategie, bei der der Teilnehmer das beste Ergebnis für jedes Verh alten anderer Teilnehmer erzielt. Dies ist die beste Win-Win-Strategie des Spielers.

Gefangenendilemma und wissenschaftlicher Durchbruch

Gefangenendilemma ist ein Fall von einem Spiel, bei dem die Teilnehmer gezwungen sind, rationale Entscheidungen zu treffen und angesichts eines Konflikts von Alternativen ein gemeinsames Ziel zu erreichen. Die Frage ist, welche dieser Optionen er wählen wird, wobei er persönliche und allgemeine Interessen sowie die Unmöglichkeit, beides zu bekommen, erkennt. Die Spieler scheinen in einer harten Spielumgebung gefangen zu sein, was sie manchmal sehr produktiv denken lässt.

Dieses Dilemma wurde von dem amerikanischen Mathematiker John Nash erforscht. Das Gleichgewicht, das er fand, war auf seine Weise revolutionär. Besonders stark beeinflusste dieser neue Gedanke die Meinung von Ökonomen darüber, wie Marktteilnehmer Entscheidungen treffen, unter Berücksichtigung der Interessen anderer, mit enger Interaktion und Überschneidung von Interessen.

Am besten studiert man die Spieltheorie an konkreten Beispielen, da diese mathematische Disziplin selbst nicht trocken theoretisch ist.

Beispiel für ein Gefangenendilemma

Beispiel, zwei Personen haben einen Raubüberfall begangen, sind der Polizei in die Hände gefallen und werden in getrennten Zellen verhört. Gleichzeitig bieten Polizisten jedem Teilnehmer günstige Bedingungen, unter denen er freigelassen wird, wenn er gegen seinen Partner aussagt. Jeder vonKriminelle haben die folgenden Strategien, die er in Betracht ziehen wird:

Beide Aussagen gleichzeitig und 2,5 Jahre Gefängnis.
Beide schweigen gleichzeitig und erh alten jeweils 1 Jahr, weil in diesem Fall die Beweisgrundlage ihrer Schuld gering sein wird.
Einer sagt aus und wird freigelassen, während der andere schweigt und zu 5 Jahren Gefängnis verurteilt wird.

Offensichtlich hängt der Ausgang des Falls von der Entscheidung beider Beteiligten ab, aber sie können sich nicht einigen, da sie in verschiedenen Zellen sitzen. Deutlich sichtbar ist auch der Konflikt ihrer persönlichen Interessen im Kampf um ein gemeinsames Interesse. Jeder der Gefangenen hat zwei Handlungsoptionen und 4 Ergebnisoptionen.

Kette logischer Schlüsse

Also erwägt Täter A die folgenden Optionen:

Ich schweige und mein Partner schweigt - wir bekommen beide 1 Jahr Gefängnis.
Ich zeige meinen Partner an und er zeigt mich an - wir bekommen beide 2,5 Jahre Gefängnis.
Ich schweige und mein Partner verrät mich - ich bekomme 5 Jahre Gefängnis und er kommt frei.
Ich übergebe meinen Partner, aber er schweigt - ich bekomme Freiheit, und er bekommt 5 Jahre Gefängnis.

Geben wir zur Verdeutlichung eine Matrix möglicher Lösungen und Ergebnisse an.

Tabelle möglicher Ergebnisse des Gefangenendilemmas.

Die Frage ist, was wird jeder Teilnehmer wählen?

"Sei still, du kannst nicht sprechen" oder "Du kannst nicht schweigen, du kannst nicht sprechen"

Um die Wahl des Teilnehmers zu verstehen, müssen Sie seine Gedankenkette durchgehen. Folgt man der Argumentation von Straftäter A: Wenn ich schweige und mein Partner schweigt, bekommen wir eine Mindeststrafe (1 Jahr), aber ichIch weiß nicht, wie er sich verh alten wird. Wenn er gegen mich aussagt, dann soll ich besser aussagen, sonst kann ich mich 5 Jahre hinsetzen. Ich würde lieber 2,5 Jahre sitzen als 5 Jahre. Wenn er schweigt, muss ich umso mehr aussagen, denn so bekomme ich meine Freiheit. Teilnehmer B.

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass die vorherrschende Strategie für jeden der Täter darin besteht, auszusagen. Der optimale Punkt dieses Spiels kommt, wenn beide Kriminellen aussagen und ihren "Preis" erh alten - 2,5 Jahre Gefängnis. Die Nash-Spieltheorie nennt dies Gleichgewicht.

Nicht optimale optimale Nash-Lösung

Die revolutionäre Natur der Nashian-Ansicht ist, dass ein solches Gleichgewicht nicht optimal ist, wenn man den einzelnen Teilnehmer und sein Eigeninteresse berücksichtigt. Schließlich ist es die beste Option, zu schweigen und frei zu gehen.

Das Nash-Gleichgewicht ist ein Punkt der Interessenkonvergenz, bei dem jeder Teilnehmer nur dann die für ihn optimale Option wählt, wenn andere Teilnehmer eine bestimmte Strategie wählen.

In Anbetracht der Option, wenn beide Kriminellen schweigen und nur 1 Jahr erh alten, können wir dies als Pareto-optimale Option bezeichnen. Dies ist jedoch nur möglich, wenn die Kriminellen im Voraus zustimmen konnten. Aber selbst das würde dieses Ergebnis nicht garantieren, da die Versuchung groß ist, von der Vereinbarung zurückzutreten und einer Bestrafung zu entgehen. Das mangelnde gegenseitige Vertrauen und die Gefahr, 5 Jahre gezwungen zu werden, die Option mit Anerkennung zu wählen. Überlegen Sie, woran sich die Teilnehmer h alten werdenOption mit Schweigen, gemeinsames Handeln, ist einfach irrational. Eine solche Schlussfolgerung kann gezogen werden, wenn wir das Nash-Gleichgewicht untersuchen. Beispiele geben dir nur recht.

Egoistisch oder rational

Die Nash-Gleichgewichtstheorie lieferte erschreckende Schlussfolgerungen, die die zuvor existierenden Prinzipien widerlegten. Beispielsweise betrachtete Adam Smith das Verh alten jedes der Teilnehmer als völlig egoistisch, was das System ins Gleichgewicht brachte. Diese Theorie wurde die „unsichtbare Hand des Marktes“genannt.

John Nash hat gesehen, dass es niemals zu einem optimalen Gruppenergebnis führen wird, wenn alle Beteiligten in ihrem eigenen Interesse handeln. Angesichts der Tatsache, dass jedem Teilnehmer rationales Denken innewohnt, ist die Wahl, die die Nash-Gleichgewichtsstrategie bietet, wahrscheinlicher.

Rein männliches Experiment

Ein Paradebeispiel ist das Blondinen-Paradox-Spiel, das, obwohl es scheinbar fehl am Platz ist, eine klare Illustration dafür ist, wie die Nash-Spieltheorie funktioniert.

In diesem Spiel musst du dir vorstellen, dass eine Gruppe freier Typen in eine Bar kommt. In der Nähe ist eine Gesellschaft von Mädchen, von denen eine den anderen vorzuziehen ist, sagen wir eine Blondine. Wie verh alten sich Jungs, um die beste Freundin für sich zu finden?

Also, die Argumentation der Jungs: Wenn alle anfangen, sich mit der Blondine vertraut zu machen, wird es höchstwahrscheinlich niemand verstehen, dann werden ihre Freunde sie nicht kennenlernen wollen. Niemand will der zweite Fallback sein. Aber wenn die Jungs es vermeiden wollenblond, dann ist die Wahrscheinlichkeit hoch, dass jeder der Jungs unter den Mädels eine gute Freundin findet.

Die Nash-Gleichgewichtssituation ist für Männer nicht optimal, weil jeder, der nur seine eigenen egoistischen Interessen verfolgt, die Blondine wählen würde. Es ist ersichtlich, dass die Verfolgung nur egoistischer Interessen gleichbedeutend mit dem Zusammenbruch von Gruppeninteressen ist. Das Nash-Gleichgewicht bedeutet, dass jeder nach seinen eigenen Interessen handelt, die in Kontakt mit den Interessen der gesamten Gruppe stehen. Dies ist nicht die beste Option für jeden persönlich, aber die beste für alle, basierend auf der Gesamtstrategie für den Erfolg.

Unser ganzes Leben ist ein Spiel

Die Entscheidungsfindung in der realen Welt ist sehr ähnlich wie ein Spiel, bei dem Sie auch von anderen Teilnehmern bestimmte rationale Verh altensweisen erwarten. Im Geschäft, bei der Arbeit, im Team, in einem Unternehmen und sogar in Beziehungen mit dem anderen Geschlecht. Von großen Geschäften bis hin zu alltäglichen Lebenssituationen gehorcht alles dem einen oder anderen Gesetz.

Natürlich sind die obigen Spielsituationen mit Kriminellen und einer Bar nur hervorragende Illustrationen, die das Nash-Gleichgewicht demonstrieren. Beispiele für solche Dilemmata treten sehr häufig auf dem realen Markt auf, und dies funktioniert insbesondere in Fällen, in denen zwei Monopolisten den Markt kontrollieren.

Gemischte Strategien

Oft sind wir nicht nur an einem, sondern an mehreren Spielen gleichzeitig beteiligt. In einem Spiel eine der Optionen wählen, geleitet von einer rationalen Strategie, aber am Ende landet man in einem anderen Spiel. Nach einigen rationalen Entscheidungen stellen Sie möglicherweise fest, dass Ihr Ergebnis nicht Ihren Wünschen entspricht. Was dennnehmen?

Betrachten wir zwei Arten von Strategien:

Reine Strategie ist das Verh alten des Teilnehmers, das aus dem Nachdenken über das mögliche Verh alten anderer Teilnehmer entsteht.
Mixed Strategy oder Random Strategy ist der zufällige Wechsel von reinen Strategien oder die Wahl einer reinen Strategie mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit. Diese Strategie wird auch randomisiert genannt.

In Anbetracht dieses Verh altens erh alten wir einen neuen Blick auf das Nash-Gleichgewicht. Wenn früher gesagt wurde, dass der Spieler einmal eine Strategie wählt, dann ist ein anderes Verh alten denkbar. Es ist davon auszugehen, dass die Spieler mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zufällig eine Strategie wählen. Spiele, die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien nicht finden können, haben sie immer in gemischten Strategien.

Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien wird gemischtes Gleichgewicht genannt. Dies ist ein Gleichgewicht, bei dem jeder Teilnehmer die optimale Häufigkeit der Wahl seiner Strategien wählt, vorausgesetzt, dass andere Teilnehmer ihre Strategien mit einer bestimmten Häufigkeit wählen.

Elfmeter und gemischte Strategie

Ein Beispiel für eine gemischte Strategie findet sich im Fußballspiel. Das beste Beispiel für eine gemischte Strategie ist vielleicht ein Elfmeterschießen. Wir haben also einen Torhüter, der nur in eine Ecke springen kann, und einen Spieler, der den Elfmeter schießt.

Also, wenn der Spieler beim ersten Mal die Strategie wählt, in die linke Ecke zu schießen, und der Torwart auch in diese Ecke fällt und den Ball fängt, wie kann es dann beim zweiten Mal weitergehen? Wenn der Spielerin die gegenüberliegende Ecke treffen wird, ist dies höchstwahrscheinlich zu offensichtlich, aber das Treffen in der gleichen Ecke ist nicht weniger offensichtlich. Daher bleibt sowohl dem Torhüter als auch dem Kicker nichts anderes übrig, als sich auf eine zufällige Auswahl zu verlassen.

So versuchen der Spieler und der Torhüter, durch abwechselnde zufällige Auswahl mit einer bestimmten reinen Strategie das maximale Ergebnis zu erzielen.