Hurwitz-Kriterium. Stabilitätskriterien von Wald, Hurwitz, Savage

2024 Autor: Henry Conors | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-02-12 05:44

Der Artikel diskutiert Konzepte wie die Kriterien von Hurwitz, Savage und Wald. Die Betonung liegt hauptsächlich auf dem ersten. Das Hurwitz-Kriterium wird sowohl aus algebraischer Sicht als auch aus Sicht der Entscheidungsfindung unter Unsicherheit ausführlich beschrieben.

Es lohnt sich, mit einer Definition von Nachh altigkeit zu beginnen. Sie charakterisiert die Fähigkeit des Systems, nach dem Ende der Störung, die das zuvor gebildete Gleichgewicht verletzt hat, in den Gleichgewichtszustand zurückzukehren.

Es ist wichtig zu beachten, dass sein Gegner - ein instabiles System - sich ständig von seinem Gleichgewichtszustand entfernt (um ihn herum schwingt) mit einer wiederkehrenden Amplitude.

Nachh altigkeitskriterien: Definition, Typen

Dies ist eine Reihe von Regeln, mit denen Sie die vorhandenen Vorzeichen der Wurzeln der charakteristischen Gleichung beurteilen können, ohne nach ihrer Lösung zu suchen. Und letztere wiederum bieten die Möglichkeit, die Stabilität eines bestimmten Systems zu beurteilen.

In der Regel sind das:

• algebraisch (Aufstellen algebraischer Ausdrücke nach einer bestimmten charakteristischen Gleichung mit speziellenRegeln, die die Stabilität des ACS charakterisieren);
• Häufigkeit (Untersuchungsgegenstand - Häufigkeitsmerkmale).

Hurwitz-Stabilitätskriterium aus algebraischer Sicht

Es ist ein algebraisches Kriterium, das die Berücksichtigung einer bestimmten charakteristischen Gleichung in Form einer Standardform impliziert:

A(p)=aᵥpᵛ+aᵥ₋₁pᵛ¯¹+…+a₁p+a₀=0.

Aus ihren Koeffizienten wird die Hurwitz-Matrix gebildet.

Die Regel zur Erstellung der Hurwitz-Matrix

In der Richtung von oben nach unten werden alle Koeffizienten der entsprechenden Kennliniengleichung der Reihe nach ausgeschrieben, beginnend von aᵥ₋₁ bis a0. In allen Sp alten von der Hauptdiagonale nach unten geben Sie die Koeffizienten zunehmender Potenzen des Operators p an, dann nach oben - abnehmend. Fehlende Elemente werden durch Nullen ersetzt.

Es ist allgemein anerkannt, dass das System stabil ist, wenn alle verfügbaren Diagonalen der betrachteten Matrix positiv sind. Wenn die Hauptdeterminante gleich Null ist, können wir davon sprechen, dass sie sich auf der Stabilitätsgrenze befindet und aᵥ=0 ist. Wenn die anderen Bedingungen erfüllt sind, befindet sich das betrachtete System an der Grenze einer neuen aperiodischen Stabilität (das vorletzte Minor wird gleich Null gesetzt). Bei positivem Wert der restlichen Minoren - an der Grenze bereits schwingungsstabil.

Entscheidungsfindung in einer Situation der Unsicherheit: Kriterien von Wald, Hurwitz, Savage

Sie sind die Kriterien für die Auswahl der am besten geeigneten Variante der Strategie. Das Savage-Kriterium (Hurwitz, Wald) wird in Situationen verwendet, in denen unsichere a priori Wahrscheinlichkeiten der Naturzustände bestehen. Ihre Grundlage ist die Analyse der Risikomatrix bzw. Zahlungsmatrix. Wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung zukünftiger Zustände unbekannt ist, werden alle verfügbaren Informationen auf eine Liste ihrer möglichen Optionen reduziert.

Also lohnt es sich, mit Walds Maximin-Kriterium zu beginnen. Er dient als Kriterium für extremen Pessimismus (vorsichtiger Beobachter). Dieses Kriterium kann sowohl für reine als auch gemischte Strategien gebildet werden.

Er erhielt seinen Namen aufgrund der Annahme des Statistikers, dass die Natur Zustände realisieren kann, in denen die Höhe des Gewinns gleich dem kleinsten Wert ist.

Dieses Kriterium ist identisch mit dem pessimistischen, das beim Lösen von Matrixspielen, meist in reinen Strategien, verwendet wird. Also müssen Sie zuerst den Mindestwert des Elements aus jeder Zeile auswählen. Dann wird die Strategie des Entscheidungsträgers ausgewählt, die dem maximalen Element unter den bereits ausgewählten minimalen entspricht.

Die nach dem betrachteten Kriterium ausgewählten Optionen sind risikofrei, da der Entscheidungsträger nicht mit einem schlechteren Ergebnis konfrontiert wird als dem, das als Richtlinie dient.

Nach dem Wald-Kriterium wird also die reine Strategie als die akzeptabelste angesehen, da sie den maximalen maximalen Gewinn unter den schlechtesten Bedingungen garantiert.

Betrachte als Nächstes das Savage-Kriterium. Hier bleibt man bei der Auswahl einer der verfügbaren Lösungen in der Praxis in der Regel bei derjenigen stehen, die in diesem Fall zu minimalen Konsequenzen führtwenn sich die Wahl immer noch als falsch herausstellt.

Nach diesem Prinzip ist jede Entscheidung im Laufe ihrer Umsetzung durch einen gewissen Mehrverlust gegenüber der richtigen im bestehenden Naturzustand gekennzeichnet. Offensichtlich kann die richtige Lösung keine zusätzlichen Verluste verursachen, weshalb ihr Wert mit Null gleichgesetzt wird. Daher ist die zweckmäßigste Strategie diejenige, bei der die Höhe der Verluste unter den schlimmsten Umständen minimal ist.

Kriterium Pessimismus-Optimismus

Dies ist ein anderer Name für das Hurwitz-Kriterium. Bei der Auswahl einer Lösung, im Zuge der Bewertung der aktuellen Situation, h alten sie an der sogenannten Zwischenposition fest, die die Wahrscheinlichkeit sowohl des günstigen als auch des schlechtesten Verh altens der Natur berücksichtigt.

Dieser Kompromiss wurde von Hurwitz vorgeschlagen. Ihm zufolge müssen Sie für jede Lösung eine lineare Kombination aus Min und Max festlegen und dann eine Strategie wählen, die ihrem größten Wert entspricht.

Wann ist das betreffende Kriterium gerechtfertigt?

Es empfiehlt sich, das Hurwitz-Kriterium in einer Situation anzuwenden, die durch folgende Merkmale gekennzeichnet ist:

1. Es muss der ungünstigste Fall berücksichtigt werden.
2. Mangelndes Wissen über die Wahrscheinlichkeiten der Naturzustände.
3. Lass uns etwas riskieren.
4. Eine relativ kleine Anzahl von Lösungen ist implementiert.

Schlussfolgerung

Schließlich wäre es sinnvoll, sich an den Artikel zu erinnernHurwitz-, Savage- und Wald-Kriterien. Das Hurwitz-Kriterium wird aus verschiedenen Blickwinkeln ausführlich beschrieben.