Der gewichtete Durchschnitt – was ist das und wie berechnet man ihn?

2024 Autor: Henry Conors | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-02-12 05:34

Im Laufe des Mathematikstudiums lernen die Schüler das Konzept des arithmetischen Mittels kennen. In Zukunft werden Studierende in Statistik und einigen anderen Wissenschaften auch mit der Berechnung anderer Durchschnittswerte konfrontiert. Was können sie sein und wie unterscheiden sie sich voneinander?

Mittelwerte: Bedeutung und Unterschiede

Nicht immer genaue Indikatoren vermitteln ein Verständnis der Situation. Um diese oder jene Situation zu beurteilen, ist es manchmal notwendig, eine Vielzahl von Zahlen zu analysieren. Und dann kommen Durchschnittswerte zur Rettung. Sie erlauben Ihnen, die Situation im Allgemeinen einzuschätzen.

Seit der Schulzeit erinnern sich viele Erwachsene an die Existenz des arithmetischen Mittels. Es ist sehr einfach zu berechnen - die Summe einer Folge von n Termen ist durch n teilbar. Das heißt, wenn Sie das arithmetische Mittel in der Folge der Werte 27, 22, 34 und 37 berechnen müssen, müssen Sie den Ausdruck (27 + 22 + 34 + 37) / 4 lösen, da 4 Werte vorliegen \u200b\u200werden in den Berechnungen verwendet. In diesem Fall ist der gewünschte Wert gleich 30.

Das geometrische Mittel wird oft im Rahmen des Schulunterrichts studiert. Die Berechnung dieses Werts basiert auf dem Ziehen der Wurzel des n-ten Grades aus dem Produktn-Mitglieder. Wenn wir die gleichen Zahlen nehmen: 27, 22, 34 und 37, dann ist das Ergebnis der Berechnungen 29, 4.

Das harmonische Mittel in einer Gesamtschule ist in der Regel kein Studienfach. Es wird jedoch recht häufig verwendet. Dieser Wert ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels und errechnet sich als Quotient aus n - der Anzahl der Werte und der Summe 1/a₁+1/a₂ +…+1/a_{. Wenn wir wieder dieselbe Zahlenreihe zur Berechnung nehmen, dann ist die Harmonische 29, 6.}

Gewichteter Durchschnitt: Funktionen

Allerdings dürfen nicht alle oben genannten Werte überall verwendet werden. Beispielsweise spielt in der Statistik bei der Berechnung einiger Durchschnittswerte das "Gewicht" jeder in die Berechnung einbezogenen Zahl eine wichtige Rolle. Die Ergebnisse sind aufschlussreicher und korrekter, weil sie mehr Informationen berücksichtigen. Diese Gruppe von Werten wird zusammenfassend als „gewichteter Durchschnitt“bezeichnet. Sie werden in der Schule nicht bestanden, daher lohnt es sich, näher darauf einzugehen.

Zunächst einmal lohnt es sich zu erklären, was mit dem „Gewicht“eines bestimmten Werts gemeint ist. Am einfachsten lässt sich dies anhand eines konkreten Beispiels erklären. Die Körpertemperatur jedes Patienten wird im Krankenhaus zweimal täglich gemessen. Von den 100 Patienten in verschiedenen Abteilungen des Krankenhauses haben 44 eine normale Temperatur - 36,6 Grad. Weitere 30 haben einen erhöhten Wert - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39 und die restlichen zwei - 40. Und wenn wir das arithmetische Mittel nehmen, dann wird dieser Wert im Allgemeinen für das Krankenhaus über 38 liegenGrad! Aber fast die Hälfte der Patienten hat eine völlig normale Temperatur. Und hier wäre es richtiger, den gewichteten Durchschnitt zu verwenden, und das "Gewicht" jedes Werts ist die Anzahl der Personen. In diesem Fall beträgt das Ergebnis der Berechnung 37,25 Grad. Der Unterschied ist offensichtlich.

Bei gewichteten Durchschnittsberechnungen kann das "Gewicht" als die Anzahl der Sendungen, die Anzahl der an einem bestimmten Tag arbeitenden Personen, im Allgemeinen alles, was gemessen werden kann und das Endergebnis beeinflusst, genommen werden.

Sorten

Der gewichtete Durchschnitt entspricht dem am Anfang des Artikels diskutierten arithmetischen Durchschnitt. Der erste Wert berücksichtigt jedoch, wie bereits erwähnt, auch das Gewicht jeder in den Berechnungen verwendeten Zahl. Zusätzlich gibt es noch geometrisch und harmonisch gewichtete Mittelwerte.

Es gibt noch eine weitere interessante Variante, die in Zahlenreihen verwendet wird. Dies ist ein gewichteter gleitender Durchschnitt. Auf ihrer Grundlage werden Trends berechnet. Neben den Werten selbst und deren Gewicht wird dort auch die Periodizität verwendet. Und bei der Berechnung des Durchschnittswertes zu einem bestimmten Zeitpunkt werden auch die Werte früherer Zeiträume berücksichtigt.

Die Berechnung all dieser Werte ist nicht so schwierig, aber in der Praxis wird meist nur der übliche gewichtete Durchschnitt verwendet.

Rechenmethoden

Im Zeit alter der Computerisierung besteht keine Notwendigkeit, den gewichteten Durchschnitt manuell zu berechnen. Es wäre jedoch nützlich, die Berechnungsformel zu kennen, damit Sie dies tun könnenÜberprüfen und korrigieren Sie ggf. die erh altenen Ergebnisse.

Am einfachsten ist es, die Berechnung an einem konkreten Beispiel zu betrachten.

Geh alt (tausend Rubel)	Anzahl der Beschäftigten (Personen)
32	20
33	35
34	14
40	6

Es ist notwendig herauszufinden, wie hoch der Durchschnittslohn in diesem Unternehmen ist, unter Berücksichtigung der Anzahl der Arbeitnehmer, die dieses oder jenes Einkommen beziehen.

Also wird der gewichtete Durchschnitt nach folgender Formel berechnet:

x=(a₁w₁+a₂w ₂+…+a w)/(w₁+w ₂+…+w)

Zum Beispiel sieht die Berechnung wie folgt aus:

x=(3220+3335+3414+406)/(20+35+14+6)=(640+1155+476+240)/75=33, 48

Offensichtlich ist es nicht allzu schwer, den gewichteten Durchschnitt manuell zu berechnen. Die Formel zur Berechnung dieses Werts in einer der beliebtesten Anwendungen mit Formeln – Excel – sieht aus wie die Funktion SUMPRODUCT (Reihe von Zahlen; Reihe von Gewichten) / SUM (Reihe von Gewichten).